纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是你这个数学证明土方式,常用于证明命题(命题是对某个大问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了有些有些领域(比如数学分析)的基础,有些有些数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法你这个非常简单。意味亲戚亲戚当当我们 我想要证明某个命题对于自然数n都成立,越来越:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下后面 的有有另一个步骤。它们实际上意味,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。或者,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚亲戚当当我们 选着n的倒下会意味n + 1的倒下,或者推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚亲戚当当我们 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你这个公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,时需算出1到100的累加,也能回家。于是高斯想出了后面 的土方式。天才都在 被逼出来的么?)

亲戚亲戚当当我们 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,或者命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    越来越,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。或者,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

或者,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有有另一个计算机多线程 调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多线程 有有有另一个也能达到的终止条件(base case)。比如下面的多线程 ,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多线程 中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我想要得到f(n),时需计算f(n-1);我想要f(n-1),时需计算f(n-2)……直到f(1)。意味亲戚亲戚当当我们 意味知道了f(1)的值,亲戚亲戚当当我们 就可不时需填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多线程 实现。使用递归设计多线程 的前一天,亲戚亲戚当当我们 设置base case,并假设亲戚亲戚当当我们 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚亲戚当当我们 只关注初始和衔接,而不时需关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形态实现的。正如亲戚亲戚当当我们 后面 所说的,计算f(n),时需f(n-1);计算f(n-1),时需f(n-2)……。亲戚亲戚当当我们 在寻找到f(1)前一天,会有有些空缺: f(n-1)的值那先 ? f(n-2)的值是那先 ? …… f(2)的值是那先 ?f(1)的值是那先 ? 亲戚亲戚当当我们 的第有有另一个大问题是f(n)是那先 ,结果,你这个大问题引出下有有另一个大问题,再下有有另一个大问题…… 每个大问题的解答都依赖于下有有另一个大问题,直到亲戚亲戚当当我们 找到第有有另一个可不时需回答的大问题: f(1)的值是那先 ?

亲戚亲戚当当我们 用栈来保存亲戚亲戚当当我们 在探索过程中的大问题。C语言中,函数的调用意味是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,有些有些很自然的,递归用栈来保存亲戚亲戚当当我们 的“大问题” 。

亲戚亲戚当当我们 假设栈向下增长。首先,亲戚亲戚当当我们 调用f(100),越来越当执行到

return f(n-1) + n; 

f(100)暂停执行,并记录当前的情况汇报,比如n的值,当前执行到的位置。就让 调用f(99),栈增加有有另一个frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

或者返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(100),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(100)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也可不时需自行手动实现栈。曾经可不时需得到更好的运行强度。

总结

数学归纳法

递归

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